Mittelpunkt-Theorem
Erster Mittelpunkt-Satz
Wenn in einem Dreieck eine Linie durch die Mittelpunkte von zwei Seiten verläuft, ist sie parallel zur dritten Seite.
Wenn wir wissen, dass I der Mittelpunkt der Seite [AB] und J der Mittelpunkt der Seite [AC] ist, dann können wir aufgrund des vorherigen Satzes sagen, dass die Linien (IJ) und (BC) parallel sind. Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um zu zeigen, dass zwei Linien parallel sind.
Zweiter Mittelwertsatz
Wenn in einem Dreieck eine Linie durch die Mitte einer Seite verläuft und parallel zu einer zweiten Seite ist, schneidet sie die dritte Seite in ihrer Mitte.
Wenn wir wissen, dass I der Mittelpunkt von [AB] ist und dass die Linien (IJ) und (BC) parallel sind, dann gilt der vorherige Satz erlaubt uns zu sagen, dass J die Mitte von [AC] ist. Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um zu zeigen, dass ein Punkt die Mitte eines Segments ist.
Dritter Satz vom Mittelpunkt
In einem Dreieck ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte zweier Seiten verbindet, gleich der Hälfte der Länge der dritten Seite.
Wenn wir wissen, dass I der Mittelpunkt der Seite [AB] ist und J der Mittelpunkt der Seite [AC] ist, dann haben wir IJ =1/2 BC .
Diese Eigenschaft kann zur Berechnung von Längen verwendet werden.
Betrachten Sie das Dreieck ABC. Die Punkte I und J sind die jeweiligen Mittelpunkte der Seiten [AB] und [AC]. Die Parallele zu (AC) durch I schneidet [BC] bei K.
a. Beweisen Sie, dass die Geraden (IJ) und (BC) parallel sind.
b. Beweisen Sie, dass K der Mittelpunkt von [BC] ist.
I und J sind die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [AC] des Dreiecks ABC. Daher ist (IJ) die Linie, die durch die Mittelpunkte der beiden Seiten des Dreiecks ABC verläuft.
In einem Dreieck ist nun die Linie, die durch die Mittelpunkte zweier Seiten geht, parallel zur dritten Seite.
Daher sind die Linien (IJ ) und (BC ) parallel.
I ist die Mitte von [AB] und (IK) ist parallel zu (AC). Daher ist (IK ) die Linie, die parallel zu einer Seite verläuft und durch die Mitte einer zweiten Seite des Dreiecks ABC geht. In einem Dreieck schneidet nun die Linie, die durch die Mitte einer Seite geht und parallel zu einer zweiten Seite ist, die dritte Seite in ihrer Mitte.
Daher ist K die Mitte von [BC ].
Dreiecke mit proportionalen Seiten
Definition
Sei ein Dreieck ABC, M ein Punkt auf der Seite [AB] und N ein Punkt auf der Seite [A C], so dass (MN) parallel zu (BC) ist, dann :
Die Zähler der Brüche sind die Längen der Seiten des Dreiecks AMN, die Nenner sind die Längen der entsprechenden Seiten des Dreiecks ABC. Die beiden Dreiecke ABC und AMN sind Dreiecke mit proportionalen Seiten.
Mit anderen Worten:
In einem Dreieck bestimmt jede Linie, die parallel zu einer Seite verläuft und die beiden anderen Seiten schneidet, ein zweites Dreieck, das eine Reduktion des ersten Dreiecks ist. Die entsprechenden Seiten dieser beiden Dreiecke haben proportionale Längen.
Es sei das Dreieck ABC und die Linie ( DE) parallel zu ( BC). Wir geben :
AD = 4,5 cm
DC = 1,5 cm
DE = 3 cm.
Berechnen Sie BC. Sei BC = x.
Das Dreieck ABC wird von der Linie ( DE) geschnitten, die parallel zur Seite [ BC] liegt. Wir haben also zwei Dreiecke mit proportionalen Seiten ABC und ADE, und wir können die Verhältnisse schreiben:
Mit AD = 4,5; AC = AD + DC = 4,5 + 1,5 = 6; DE = 3 und BC = x, kennen wir AE und AB nicht, also haben wir :
(4,5/6) = 3/x 4,5x = 6×3 4,5x = 18 x = 18/4,5 x = 4
Die Seite BC misst 4 cm.
Anwendung: Ein Segment aufteilen
Wie unterteilen wir das Segment [AB] in 3 gleiche Segmente?
Zeichnen Sie die Halbgerade (d) mit Ursprung A. Markieren Sie mit dem Zirkel drei Punkte M, N und P auf (d), so dass AM=MN= NP.
Zeichnen Sie dann die Linie (PB) und die zu (PB) parallelen Linien, die durch M bzw. N verlaufen. Diese Linien schneiden das Segment [AB] jeweils bei M' und N'. Die Segmente [AM'], [M'N'] und [N'B] sind gleich lang.