Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Mahnungen Es handelt sich um ein System der Form: wobei x und y die Unbekannten sind und mit dem mehrere Arten von Unbekannten gefunden werden können. Um ein solches System zu lösen, müssen die Gleichungen, aus denen es sich zusammensetzt, eventuell umgewandelt werden, indem man die folgenden Transformationen: Das Ziel ist es, Gleichungen zu erhalten, deren erstes Glied aus einer algebraischen Summe besteht, die nur die Unbekannten x und y enthält, und deren zweites Glied nur die konstanten Terme enthält. Das Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten bedeutet, die Werte von x und y zu finden, die beide Gleichungen erfüllen. Lösen durch Substitution Die Methode der Substitution besteht darin, in einer der Gleichungen eine der Unbekannten als Funktion der anderen auszudrücken und ihren Ausdruck in die andere Gleichung zu übertragen (zu substituieren): man erhält so eine Gleichung mit einer Unbekannten, die man lösen kann. Dann bestimmen wir den Wert der anderen Unbekannten. Diese Methode ist interessant, wenn eine der Unbekannten auf einfache Weise als Funktion der anderen ausgedrückt werden kann. Nehmen wir das System : Wir berechnen x als Funktion von y in der ersten Gleichung und geben die zweite Gleichung ein: Jetzt lösen wir einfach die zweite Gleichung (die nur die Unbekannte y enthält) und berechnen dann x. Lösen Sie das System : Drücken Sie in der ersten Gleichung x als Funktion von y aus: Die zweite Gleichung wird als Funktion von y aufgetragen: Jetzt müssen wir nur noch die zweite Gleichung lösen (die zu einer Gleichung mit einer Unbekannten y geworden ist): Die Lösung ist das Paar ( 1 , 0 ) : S = f ( 1 , 0 ) g . Immer das ganze System, auch wenn eine der Gleichungen von einer Zeile zur anderen ihre Form nicht ändert. Die Richtigkeit der Ergebnisse kann überprüft werden, indem die gefundenen Werte für x und y in das in der Anweisung angegebene System eingezeichnet werden. Lösen durch Addition (oder Kombination) Wie zuvor schreiben wir das System in der Form : Dann multiplizieren wir die beiden Glieder der beiden Gleichungen oder die beiden Glieder von nur einer der Gleichungen mit einer Zahl, so dass die Koeffizienten der Unbekannten x (oder y) entgegengesetzt sind. Dann addieren wir die beiden Gleichungen Glied für Glied, eliminieren so die Unbekannte x (oder y) und erhalten eine Gleichung mit einer Unbekannten. Die Multiplikation der ersten Gleichung mit a ' und der zweiten Gleichung mit -a ergibt: Die beiden Gleichungen werden Glied für Glied addiert: die zweite Gleichung hat nur die Unbekannte y. Der Wert von x ergibt sich dann durch Ersetzen des für y erhaltenen Wertes in einer der beiden Gleichungen. Behalten Sie eine der beiden Gleichungen im System. Wir können auch die Unbekannte y eliminieren. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit b' und die zweite mit -b. Lösen Sie das System : Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit -2 : Die beiden Gleichungen werden Glied für Glied addiert (die Unbekannte x wird dadurch eliminiert): Um x zu finden, ersetzen Sie einfach y durch den Wert, der in einer der beiden Gleichungen gefunden wurde: x + y = 1 mit y = 0 ergibt x + 0 = 1 oder x = 1. Daher die Menge der Lösungen: S = {( 1 , 0 )}. Grafische Lösung Wir berechnen y als Funktion von x in jeder der beiden Gleichungen. Wir erhalten ein System der Form : wobei jede der beiden Gleichungen im System eine Linie darstellt. Zeichnen Sie jede dieser Linien in einem orthonormalen Koordinatensystem. Lösen Sie das System : ist es äquivalent zu dem System : Die erste Gleichung ist die Gerade y = - x + 1 und die zweite Gleichung ist die Gerade y = 2x - 2. In einem orthonormalen Bezugssystem ( O , I , J ) zeichnen wir diese beiden Linien. Der Schnittpunkt der Linien ist I mit den Koordinaten ( 1 , 0 ). Daraus ergibt sich die Lösung des Systems: S = {( 1 , 0 )}.