Die frühesten bekannten eindeutigen Beispiele schriftlicher Dokumente – aus Ägypten und Mesopotamien um 3100 v. Chr. – zeigen, dass die antiken Völker bereits damit begonnen hatten, mathematische Regeln und Techniken zu entwickeln, die für die Vermessung von Land, den Bau von Gebäuden und die Messung von Lagerbehältern nützlich waren. Ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. sammelten und erweiterten die Griechen dieses praktische Wissen und verallgemeinerten von dort aus das abstrakte Fach, das heute als Geometrie bekannt ist, aus der Kombination der griechischen Wörter geo („Erde“) und metron („Maß“) für die Vermessung der Erde.

Neben der Beschreibung einiger der Errungenschaften der alten Griechen, einschließlich Euklids logischer Entwicklung der Geometrie in den Elementen, untersucht dieser Beitrag einige der Anwendungen der Geometrie in der Astronomie, Kartographie und Malerei vom klassischen Griechenland bis zum mittelalterlichen Islam und dem Europa der Renaissance. Er schließt mit einer kurzen Diskussion über die Erweiterungen der nicht-euklidischen und mehrdimensionalen Geometrien in der Neuzeit.

Antike Geometrie: praktisch und empirisch

Der Ursprung der Geometrie liegt in den Belangen des täglichen Lebens. Der traditionelle Bericht, der in der Geschichte von Herodot (5. Jh. v. Chr.) erhalten ist, schreibt den Ägyptern das Verdienst zu, die Vermessung erfunden zu haben, um die Grundstückswerte nach der jährlichen Nilüberschwemmung wiederherzustellen. Ebenso der Wunsch, Volumen von soliden Zahlen aus der Notwendigkeit zu wissen, Tribut zu bewerten, Öl und Getreide zu speichern und Dämme und Pyramiden zu bauen. Selbst die drei abstrusen geometrischen Probleme der Antike – die Verdopplung eines Würfels, die Dreiteilung eines Winkels und die Quadratur des Kreises, von denen später noch die Rede sein wird – entstanden wahrscheinlich aus praktischen Angelegenheiten, religiösen Ritualen, der Zeitmessung bzw. dem Bauwesen in den vorgriechischen Gesellschaften des Mittelmeerraums. Und das Hauptthema der späteren griechischen Geometrie, die Theorie der Kegelschnitte, verdankt seine allgemeine Bedeutung und vielleicht auch seinen Ursprung seiner Anwendung auf Optik und Astronomie.

Während viele bekannte und unbekannte Persönlichkeiten des Altertums zu diesem Thema beigetragen haben, hat keiner die Wirkung von Euklid und seinen Elementen der Geometrie erreicht, einem 2.300 Jahre alten Buch, das so akribisch und sorgfältig studiert wird wie die Bibel. Über Euklid ist jedoch viel weniger bekannt als über Moses. Tatsächlich ist das Einzige, was mit einem gewissen Grad an Sicherheit bekannt ist, dass Euklid während der Herrschaft von Ptolemäus I. (323-285 / 283 v. Chr.) an der Bibliothek von Alexandria lehrte. Euklid schrieb nicht nur über Geometrie, sondern auch über Astronomie und Optik und vielleicht auch über Mechanik und Musik. Nur die Elemente, die weithin kopiert und übersetzt wurden, sind unversehrt erhalten geblieben.

Euklids Elemente waren so vollständig und klar geschrieben, dass sie die Arbeit seiner Vorgänger buchstäblich auslöschten. Was von der griechischen Geometrie vor ihm bekannt ist, stammt hauptsächlich aus Schnipseln, die von Platon und Aristoteles sowie von späteren Mathematikern und Kommentatoren zitiert wurden. Erhalten geblieben sind unter anderem einige Ergebnisse und der allgemeine Ansatz des Pythagoras (ca. 580 – ca. 500 v. Chr.) und seiner Anhänger. Die Pythagoräer waren davon überzeugt, dass alle Dinge Zahlen sind oder ihre Beziehungen zu ihnen verdanken. Die Lehre gab der Mathematik höchste Bedeutung bei der Erforschung und dem Verständnis der Welt. Plato entwickelte eine ähnliche Sichtweise und Philosophen, die von Pythagoras oder Plato beeinflusst waren, schrieben oft ekstatisch über die Geometrie als Schlüssel zur Interpretation des Universums. So wurde die antike Geometrie mit dem Erhabenen assoziiert, um ihre irdischen Ursprünge und ihren Ruf als Beispiel für präzises logisches Denken zu ergänzen.

Den richtigen Winkel finden

Antike Baumeister und Vermesser mussten bei Bedarf rechte Winkel auf dem Boden konstruieren können. Die von den Ägyptern angewandte Methode brachte ihnen in Griechenland den Namen „Schnurzieher“ ein, offenbar weil sie eine Schnur benutzten, um ihre Bauvorgaben festzulegen. Eine Möglichkeit, wie sie ein Seil zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwendet haben könnten, war, ein geschlungenes Seil mit Knoten zu markieren, so dass das Seil, wenn es an den Knoten gehalten und festgezogen wird, ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Die einfachste Art, den Trick auszuführen, ist, ein 12 Einheiten langes Seil zu nehmen, einen Knoten 3 Einheiten von einem Ende und einen weiteren 5 Einheiten vom anderen Ende entfernt zu machen und dann die Enden zu einer Schlaufe zusammenzubinden, wie in der Animation gezeigt. Die ägyptischen Schriftgelehrten haben uns jedoch keine Anweisungen zu diesen Verfahren hinterlassen, geschweige denn einen Hinweis darauf, dass sie wussten, wie man sie verallgemeinern kann, um den Satz des Pythagoras zu erhalten: Das Quadrat auf der gegenüberliegenden Seite des rechten Winkels ist gleich der Summe der Quadrate auf den beiden anderen Seiten. In ähnlicher Weise enthalten die vedischen Schriften des alten Indiens Abschnitte, die Sulvasutra s genannt werden, oder „Seilregeln“, für die genaue Positionierung von Opferaltären. Die erforderlichen rechten Winkel wurden durch markierte Saiten gebildet, um die Dreiklänge (3, 4, 5) und (5, 12, 13) zu erhalten.

In babylonischen Tontafeln (ca. 1700-1500 v. Chr.) haben moderne Historiker Aufgaben entdeckt, deren Lösungen darauf hinweisen, dass der Satz des Pythagoras und bestimmte spezielle Dreiklänge mehr als tausend Jahre vor Euklid bekannt waren. Bei einem zufällig gebildeten rechtwinkligen Dreieck ist es jedoch sehr unwahrscheinlich, dass alle Seiten mit der gleichen Einheit messbar sind – das heißt, dass jede Seite ein ganzzahliges Vielfaches einer gemeinsamen Maßeinheit ist. Diese Tatsache, die als Schock kam, als sie von den Pythagoräern entdeckt wurde, gab Anlass zu dem Konzept und der Theorie der Inkommensurabilität.

Auffinden des Unerreichbaren

Nach antiker Überlieferung erfand Thales von Milet, der im 6. Jahrhundert v. Chr. vor Pythagoras lebte, eine Möglichkeit, unzugängliche Höhen, wie die ägyptischen Pyramiden, zu messen. Obwohl keine seiner Schriften überlebt haben, kann Thales sehr wohl von einer babylonischen Beobachtung gewusst haben, dass für ähnliche Dreiecke (Dreiecke der gleichen Form, aber nicht notwendigerweise der gleichen Größe) die Länge jeder entsprechenden Seite um das gleiche Vielfache erhöht (oder verringert) wird. Eine Bestimmung der Höhe eines Turms mit Hilfe ähnlicher Dreiecke ist in der Abbildung dargestellt. Die alten Chinesen gelangten zu Messungen von Höhen und Entfernungen, die auf keinem anderen Weg erreichbar waren, indem sie „komplementäre“ Rechtecke verwendeten, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, die nachweislich Ergebnisse liefern, die denen der griechischen Methode mit Dreiecken gleichwertig sind.

Schätzung des Vermögens

Eine babylonische Keilschrifttafel, die vor etwa 3500 Jahren geschrieben wurde, beschäftigt sich mit den Problemen von Dämmen, Brunnen, Wasseruhren und Ausgrabungen. Es gibt auch eine Übung zu kreisförmigen Gehäusen mit einem impliziten Wert von π = 3. Der Bauunternehmer für den Pool von König Salomo, der einen Teich mit einem Durchmesser von 10 Ellen und einem Umfang von 30 Ellen anlegte (1. Könige 7:23), verwendete denselben Wert. Allerdings sollten die Hebräer ihr π von den Ägyptern übernommen haben, bevor sie das Rote Meer überquerten, denn derBack des Papyrus (ca. 2000 v. Chr.; unsere primäre Quelle für altägyptische Mathematik) impliziert π = 3,1605.

Die Kenntnis der Fläche eines Kreises war von praktischem Wert für die Beamten, die den Tribut des Pharaos im Auge behielten, sowie für die Erbauer von Altären und Becken. Ahmes , der Schreiber, der den Rhind-Papyrus (ca. 1650 v. Chr.) kopiert und kommentiert hat, hat viel über zylindrische Getreidespeicher und Pyramiden, sowohl ganze als auch abgeschnittene, zu sagen. Er konnte ihre Volumina berechnen und, wie aus seinem Verständnis des ägyptischen Seked, der horizontalen Strecke, die mit einer vertikalen Erhebung von einer Elle verbunden ist, als Bestimmungsgröße für die Neigung der Pyramide, ersichtlich ist, wusste er etwas über ähnliche Dreiecke.

Antike Geometrie: abstrakt und angewandt

Die drei klassischen Probleme

Neben dem Beweisen von mathematischen Theoremen konstruierten die antiken Mathematiker verschiedene geometrische Objekte. Euklid beschränkte die Hilfsmittel der Konstruktion willkürlich auf ein Lineal (ein unmarkiertes Lineal) und einen Zirkel. Diese Einschränkung machte drei besonders interessante Probleme (Verdoppelung eines Würfels, Dreiteilung eines beliebigen Winkels und Quadratur eines Kreises) sehr schwierig – eigentlich unmöglich. In der Antike wurden verschiedene Konstruktionsmethoden mit anderen Mitteln erdacht, und die stets erfolglosen Versuche mit Lineal und Kompass hielten sich für die nächsten 2000 Jahre. 1837 bewies der französische Mathematiker Pierre Laurent Wantzel, dass es unmöglich ist, den Würfel zu verdoppeln und den Winkel zu trisezieren, und 1880 zeigte der deutsche MathematikerFerdinand von Lindemann, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist als Folge seines Beweises, dass π eine transzendente Zahl ist.

Verdoppelung des Würfels

Die vedischen Schriften machten den Würfel zur am meisten empfohlenen Form des Altars für jeden, der zweimal am selben Ort anrufen wollte. Die Regeln des Rituals verlangten, dass der Altar des zweiten Plädoyers die gleiche Form, aber das doppelte Volumen des ersten haben sollte. Wenn die Seiten des ursprünglichen und des abgeleiteten Altars jeweils a und b sind, dann ist b 3 = 2 a 3. Das Problem kam bei den Griechen mit seinem zeremoniellen Inhalt. Ein Orakel offenbarte, dass die Bürger von Delos sich von einer Seuche befreien konnten, indem sie einfach einen bestehenden Altar durch einen doppelt so großen ersetzten. Die Delianer wandten sich an Plato. Er antwortete, dass das Orakel nicht gemeint habe, dass die Götter einen größeren Altar wollten, sondern dass sie beabsichtigt hätten, „die Griechen für ihre Vernachlässigung der Mathematik und ihre Missachtung der Geometrie zu beschämen.“ Mit dieser Mischung aus vedischer Praxis, griechischem Mythos und akademischer Manipulation nahm das Problem der Verdoppelung des Würfels einen prominenten Platz in der Entstehung der griechischen Geometrie ein.
Hippokrates von Chios , der um 450 v. Chr. eines der frühesten Werke schrieb, unternahm die ersten Schritte zur Lösung des Altarproblems. Er reduzierte die Vervielfältigung darauf, zwei proportionale Durchschnitte zwischen 1 und 2 zu finden, d.h. die Linien x und y im Verhältnis 1: x = x : y = y : 2 zu finden. Nach der Intervention des Delianischen Orakels fanden mehrere Geometer um Platons Akademie herum komplizierte Wege, proportionale Durchschnitte zu erzeugen.

Einige Generationen später konstruierte Eratosthenes von Kyrene (ca. 276 – ca. 194 v. Chr.) ein einfaches Instrument mit beweglichen Teilen, das ungefähre proportionale Durchschnittswerte erzeugen konnte.

Dreiteilung des Winkels

Die Ägypter sagten die Zeit der Nacht durch den Aufgang von 12 Sternbildern (Konstellationen) an, von denen jedes durchschnittlich zwei Stunden zum Aufgang benötigt. Um geeignetere Intervalle zu erhalten, unterteilten die Ägypter jeden ihrer Asterismen in drei Teile, oder Dekane. Damit stellte sich das Problem der Dreiteilung. Es ist nicht bekannt, ob das zweite berühmte Problem der archaischen griechischen Geometrie, die Dreiteilung eines gegebenen Winkels, aus der Schwierigkeit des Dekans entstanden ist, aber wahrscheinlich entstand es aus einem Problem der Winkelmessung.

Mehrere Geometer der Zeit Platons versuchten sich an der Dreiteilung. Zwar gelang es niemandem, mit Lineal und Kompass eine Lösung zu finden, wohl aber mit einer mechanischen Vorrichtung und einem Trick. Das mechanische Gerät, das vielleicht nie gebaut wurde, erzeugt das, was die antiken Vermesser aquadratrix nannten. Erfunden von einem Geometer namens Hippias von Elis (5. Jh. v. Chr.), ist die Quadratrix eine Kurve, die durch den Schnittpunkt zweier sich bewegender Linien gezeichnet wird, von denen die eine gleichmäßig rechtwinklig und die andere gleichmäßig parallel zu sich selbst verläuft.
Der Trick mit der Dreiteilung ist eine Anwendung dessen, was die Griechen neusis nannten, ein Manövrieren einer gemessenen Länge in eine spezielle Position, um eine geometrische Figur zu vervollständigen. Eine späte Version der Anwendung, die Archimedes (ca. 285-212 / 211 v. Chr.) zugeschrieben wird, veranschaulicht die Methode der Winkeldreiteilung. ( Siehe Kasten: Winkel-Dreiteilung: Archimedes‘ Methode.)

Die Quadratur des Kreises

Die vor-euklidischen griechischen Geometer verwandelten das praktische Problem der Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises in ein Werkzeug für Entdeckungen. Es können drei Ansätze unterschieden werden: Hippokrates‘ Ausweichmanöver, ein Problem durch ein anderes zu ersetzen; die Anwendung eines mechanischen Instruments, wie bei Hippias‘ Gerät zur Trisektion des Winkels; und die Technik, die sich als am erfolgreichsten erwies, die Annäherung einer immer näher rückenden unbekannten Größe, die schwer zu untersuchen ist (z.B. die Fläche eines Kreises), durch eine Reihe bekannter Größen, die leichter zu untersuchen sind (z.B. die Flächen von Polygonen) – eine Technik, die in der Neuzeit als „Methode der Erschöpfung“ bekannt ist und von ihrem größten Praktiker, Archimedes, Platons Schüler Eudoxus von Cnidus (ca. 408- ca. 355 v.Chr.) zugeschrieben wird.

Obwohl er nicht in der Lage war, den Kreis zu quadrieren, demonstrierte Hippokrates die Quadratur des Mondes; das heißt, er zeigte, dass die Fläche zwischen zwei sich schneidenden Kreisbögen genau als gerade Fläche ausgedrückt werden konnte und weckte damit die Hoffnung, dass der Kreis selbst auf die gleiche Weise behandelt werden könnte. Ein Zeitgenosse von Hippias entdeckte, dass man mit der Quadratrix Kreise annähernd gleichrichten kann. Dies sind der Substitutions- und der mechanische Ansatz.
Die von Eudoxus entwickelte Erschöpfungsmethode approximiert eine Kurve oder Fläche durch Polygone mit berechenbaren Umfängen und Flächen. Da die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Polygons, das in einen Kreis eingeschrieben ist, unendlich zunimmt, „erschöpfen“ oder absorbieren sein Umfang und seine Fläche den Umfang und die Fläche des Kreises bis zu einem zurechenbaren Fehler in der Länge oder Fläche, wie klein auch immer. Bei Archimedes ergab die Erschöpfungsmethode obere und untere Schranken für den Wert von π, dem Verhältnis des Umfangs eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser. Er erreichte dies, indem er ein Polygon in einen Kreis einschloss und ein Polygon darum herum umschrieb und so den Umfang des Kreises zwischen den berechenbaren Umfängen der Polygone abgrenzte. Er verwendete Polygone mit 96 Seiten und begrenzte damit π zwischen 3 zehn / 71 und 3 eins / 7.

Idealisierung und Nachweis

Der letzte große platonische und euklidische Kommentator der Antike, Proklos ( ca. 410-485 n. Chr.), schrieb dem unerschöpflichen Thales die Entdeckung des keineswegs selbstverständlichen Satzes zu, dass auch scheinbar offensichtliche Sätze bewiesen werden müssen. Proclus bezog sich in erster Linie auf das im Mittelalter als Eselsbrücke bekannte Theorem, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die gegenüberliegenden Winkel gleicher Seiten gleich sind. Das Theorem mag seinen Spitznamen von der euklidischen Figur oder dem gesunden Menschenverstand erhalten haben, dass nur ein Esel einen Beweis für eine so offensichtliche Aussage verlangen würde.
Die griechischen Geometer der Antike folgten Thales bald auf die Eselsbrücke. Im 5. Jahrhundert v. Chr. erklärte der Philosoph und Mathematiker Demokrit (ca. 460 – ca. 370 v. Chr.), dass seine Geometrie alles Wissen der Ägypter übertrifft, weil er beweisen kann, was er behauptet. Zu Platons Zeiten bewiesen die Geometer in der Regel ihre Sätze. Ihr Zwang und die daraus resultierende Vervielfachung der Theoreme passte perfekt zu Sokrates‘ endlosem Hinterfragen und Aristoteles‘ kompromissloser Logik. Vielleicht ist der Ursprung und sicherlich auch die Ausübung der besonders griechischen Methode des mathematischen Beweises in demselben sozialen Umfeld zu finden, das auch die Praxis der Philosophie hervorbrachte, nämlich der griechischen Polis. Dort erlernten die Bürger die Fähigkeiten einer herrschenden Klasse, und die Wohlhabenderen unter ihnen hatten die Muße, sich mit allem zu beschäftigen, was ihnen gefiel, egal wie nutzlos das Ergebnis war, während die Sklaven sich um die Notwendigkeiten des Lebens kümmerten. Die griechische Gesellschaft konnte die Umwandlung der Geometrie von einer praktischen Kunst zu einer deduktiven Wissenschaft unterstützen. Trotz ihrer Strenge entspricht die griechische Geometrie nicht den Anforderungen des modernen Systematikers. Euklid selbst beruft sich manchmal auf Bezüge, die aus einem intuitiven Verständnis von Begriffen wie Punkt und Linie oder innen und außen stammen, verwendet Superposition usw. Es dauerte über 2000 Jahre, um die Elemente von dem zu bereinigen, was die reinen Deduktivisten als Unvollkommenheiten betrachteten.

Die euklidische Synthese

Euklid begann, in Übereinstimmung mit der bewussten Logik des Aristoteles, das erste seiner 13 Bücher der Elemente mit Definitionen („eine Linie ist ohne Breite“), allgemeinen Begriffen („das Ganze ist größer als der Teil“) und Axiomen oder Postulaten („alle rechten Winkel sind gleich“). Von dieser Vorfrage hat das fünfte und letzte Postulat, das eine hinreichende Bedingung für das Zusammentreffen zweier Geraden angibt, wenn sie hinreichend ausgedehnt sind, bei weitem die meiste Aufmerksamkeit erhalten. In der Tat definiert sie die Parallelität. Viele spätere Geometer versuchten, das fünfte Postulat mit anderen Teilen der Elemente zu beweisen. Euklid sah weiter, denn konsistente Geometrien (genannt nicht-euklidische Geometrien) können erzeugt werden, indem das fünfte Postulat durch andere Postulate ersetzt wird, die Euklids Wahl widersprechen.

Die ersten sechs Bücher enthalten den Großteil dessen, was Euklid zur ebenen Geometrie anbietet. Buch I präsentiert viele Sätze, die zweifellos von seinen Vorgängern entdeckt wurden, von Thales‘ Gleichheit der Winkel gegenüber gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks bis zum Satz des Pythagoras, mit dem das Buch eigentlich endet. (Siehe Kasten: Euklids Windmühle.)
Buch VI wendet die Proportionslehre aus Buch V auf ähnliche Figuren an und stellt die geometrische Lösung von quadratischen Gleichungen vor. Wie üblich, sind einige davon älter als Euklid. Die Bücher VII-X, die sich mit verschiedenen Arten von Zahlen, insbesondere Primzahlen, und verschiedenen Arten von Verhältnissen befassen, werden heute nur selten studiert, trotz der Bedeutung des magistralen Buches X mit seiner ausführlichen Klassifizierung inkommensurabler Größen für die weitere Entwicklung der griechischen Geometrie. (Siehe Kasten: Inkommensurables.)
Die Bücher XI – XIII befassen sich mit Festkörpern: XI enthält Theoreme über den Schnittpunkt von Ebenen und Linien und Ebenen sowie Theoreme über die Volumina von Parallelepipeden (Festkörper mit parallelen Parallelogrammen als gegenüberliegende Flächen); XII wendet die von Eudoxus eingeführte Methode der Erschöpfung auf die Volumina von Festkörpern, einschließlich der Kugel, an; XIII, ein dreidimensionales Analogon von Buch IV, beschreibt platonische Festkörper. Zu den Kostbarkeiten des Buches XII gehört ein Nachweis des Rezeptes, das die Ägypter für das Volumen einer Pyramide verwendeten.

Gnomonik und der Kegel

Während ihrer täglichen Reise über den Horizont scheint die Sonne einen Kreisbogen zu beschreiben. Indem er sich den fehlenden Teil des Tageskreises vorstellte, konnte sich der griechische Astronom vorstellen, dass sich sein eigentliches Auge an der Spitze eines Kegels befand, dessen Oberfläche durch die Sonnenstrahlen zu verschiedenen Tageszeiten und dessen Basis durch den scheinbaren Tagesverlauf der Sonne definiert wurde. Unser Astronom würde mit dem Zeiger einer Sonnenuhr, dem sogenannten Gnomon, als Auge einen zweiten, nach unten gerichteten Schattenkegel erzeugen. Der Schnittpunkt dieses zweiten Kegels mit einer horizontalen Fläche, wie z. B. der Fläche einer Sonnenuhr, würde das Bild (oder den Schatten) der Sonne während des Tages als ebenen Abschnitt eines Kegels nachzeichnen. (Mögliche Schnittpunkte einer Ebene mit einem Kegel, genannt Kegelschnitte, sind der Kreis, die Ellipse, der Punkt, die Gerade, die Parabel und die Hyperbel).
Doxographen schreiben die Entdeckung der Kegelschnitte jedoch einem Schüler des Eudoxus, Menaechmus (Mitte des 4. Jahrhunderts v. Chr.), zu, der sie zur Lösung des Problems der Verdoppelung des Würfels verwendete. Seine eingeschränkte Herangehensweise an Kegel – er arbeitete nur mit geraden Kreiskegeln und machte seine Schnitte senkrecht zu einer der Geraden, die ihre Oberflächen bilden – war bis zur Zeit von Archimedes üblich. Euklid übernahm den Ansatz von Menaechmus in seinem verlorenen Buch über Kegelschnitte, und Archimedes folgte ihm. Zweifellos wussten aber beide, dass alle Kegel aus dem gleichen rechten Kegel gewonnen werden können, indem man den Schnitt in einem beliebigen Winkel zulässt.

Der Grund, warum Euklids Abhandlung über die Konik unterging, ist, dass Apollonius von Perga (ca. 262 – ca. 190 v. Chr.) ihr das antat, was Euklid zu Platons Zeiten der Geometrie angetan hatte. Apollonius reproduzierte die bekannten Ergebnisse in einer viel allgemeineren Weise und entdeckte viele neue Eigenschaften von Figuren. Zunächst bewies er, dass alle Kegelschnitte Abschnitte eines beliebigen kreisförmigen, rechten oder schrägen Kegels sind. Apollonius führte die Begriffe Ellipse, Hyperbel und Parabel für Kurven ein, die entstehen, wenn man einen Kreiskegel mit einer Ebene in einem Winkel schneidet, der kleiner, größer oder gleich dem Öffnungswinkel des Kegels ist.

Astronomie und Trigonometrie

Kalkulation

In einer genialen Anwendung ihrer Geometrie taten die Griechen, was anscheinend kein vorheriges Volk getan hat: Sie geometrisierten den Himmel, indem sie annahmen, dass sich Sonne, Mond und Planeten um eine stationäre Erde in einem Kreis oder einer Reihe von rotierenden Kreisen bewegen, und sie berechneten die Rotationsgeschwindigkeit dieser Kreise aus den beobachteten Bewegungen. So schrieben sie der Sonne einen zur Erde exzentrischen Kreis zu, um die ungleichen Längen der Jahreszeiten zu erklären.
Ptolemäus (Blütezeit 127-145 n. Chr. in Alexandria, Ägypten) entwickelte vollständige Kreissätze für alle Planeten. Um den Phänomenen Rechnung zu tragen, die sich aus der Bewegung der Erde um die Sonne ergeben, beinhaltete das ptolemäische System einen sekundären Kreis, der als Epizykel bezeichnet wurde und dessen Mittelpunkt sich entlang der Bahn des primären Kreises, dem Deferenten, bewegte. Ptolemäus‘ große Zusammenstellung, oder Almagest, nach seiner arabischen Übersetzung, war für die Astronomie, was Euklids Elemente für die Geometrie waren. Im Gegensatz zu den Elementen setzt der Almagest jedoch die Geometrie für Berechnungszwecke ein. Zu den Elementen, die Ptolemäus berechnete, gehörte eine Tabelle der Sehnen, die der trigonometrischen Sinusfunktion entsprechen, die später von indischen und islamischen Mathematikern eingeführt wurde. Die Tabelle der Sehnen half bei der Berechnung von Entfernungen aus Winkelmessungen, wie es ein moderner Astronom mit dem Sinusgesetz tun konnte.

Erkenntnistheorie

Die Anwendung der Geometrie auf die Astronomie hat die ewige griechische Suche nach der Natur der Wahrheit neu gestaltet. Wenn eine mathematische Beschreibung mit den Tatsachen übereinstimmte, wie Ptolemäus die ungleichen Längen der Jahreszeiten durch die Exzentrizität der Sonnenbahn erklärte, sollte die Beschreibung als wahr für die Natur angesehen werden? Die Antwort lautete mit zunehmender Beharrlichkeit „nein“. Die Astronomen bemerkten, dass die exzentrische Bahn, die die jährliche Bewegung der Sonne darstellt, durch ein Kreispaar ersetzt werden konnte, ein Deferent, der auf der Erde zentriert ist, und ein Epizykel, dessen Zentrum sich entlang des Umfangs des Deferenten bewegte. Dies ergab zwei beobachtungsmäßig äquivalente Sonnentheorien, die auf zwei sehr unterschiedlichen Mechanismen basieren. Die Geometrie war zu reich an Alternativen, um die wahren Prinzipien der Natur zu enthüllen. Die Griechen, die aus einem Haufen praktischer Rezepte eine erhabene Wissenschaft gemacht hatten, entdeckten, dass sie durch die Umkehrung des Prozesses, durch die erneute Anwendung ihrer Mathematik auf die Welt, keinen sichereren Anspruch auf die Wahrheit hatten als die ägyptischen Strippenzieher.

Antike Geometrie: kosmologisch und metaphysisch

Pythagoreische Zahlen und Platonische Körper

Die Pythagoräer benutzten geometrische Figuren, um ihren Slogan, dass alles eine Zahl ist, zu illustrieren – daher ihre „Dreieckszahlen“ ( n ( n -1) / 2 ), „Quadratzahlen“ ( n 2 ) und „Altarzahlen“ ( n 3 ), von denen einige in der Abbildung dargestellt sind. Eine raffinierte Anwendung fand dieses Prinzip in Platons Schöpfungsgeschichte, dem Timaios, der die kleinsten Teilchen, die „Elemente“, der Materie als regelmäßige geometrische Figuren darstellt. Da die Alten höchstens vier oder fünf Elemente kannten, suchte Platon eine kleine Menge eindeutig definierter geometrischer Objekte, die als elementare Bestandteile dienen sollten. Er fand sie in den einzigen dreidimensionalen Strukturen, deren Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind, die sich in gleichen Raumwinkeln treffen: das Tetraeder oder die Pyramide (mit 4 dreieckigen Flächen); der Würfel (mit 6 quadratischen Flächen); das Oktaeder (mit 8 gleichseitigen dreieckigen Flächen); das Dodekaeder (mit 12 fünfeckigen Flächen); und das Ikosaeder (mit 20 gleichseitigen Dreieckflächen).
Die Kosmologie des Timaios hatte eine Konsequenz von primärer Bedeutung für die Entwicklung der mathematischen Astronomie. Sie leitete Johannes Kepler (1571-1630) bei seiner Entdeckung des Gesetzes der Planetenbewegung. Kepler setzte die fünf regelmäßigen platonischen Körper nicht als Indikatoren für die Art und Anzahl der Elemente ein, sondern als Modell für den Aufbau des Himmels. Im Jahr 1596 veröffentlichte er Prodromus Dissertationum Mathematicarum Continens Mysterium Cosmographicum („Mysterium Cosmographicum“), in dem jeder der sechs bekannten Planeten auf Kugeln, die durch die fünf platonischen Körper voneinander getrennt sind, um die Sonne kreist, wie auf dem Foto dargestellt. Obwohl Tycho Brahe (1546-1601), der größte beobachtende Astronom der Welt vor der Erfindung des Teleskops, das kopernikanische Modell des Sonnensystems ablehnte, lud er Kepler ein, ihm an seiner neuen Sternwarte außerhalb von Prag zu helfen. Bei dem Versuch, die Diskrepanzen zwischen seiner ursprünglichen Theorie und den Beobachtungen von Brahe zu lösen, machte Kepler die folgenschwere Entdeckung, dass sich die Planeten in Ellipsen um die Sonne als Brennpunkt bewegen.

Vermessung der Erde und des Himmels

Die Geometrie bot den griechischen Kosmologen nicht nur ein Mittel, um über die Struktur des Universums zu spekulieren, sondern auch die Möglichkeit, sie zu messen. Südlich von Alexandria und ungefähr auf dem gleichen Längengrad liegt das Dorf Syene (modern Aswān), wo die Sonne an einem Sommertag mittags direkt über dem Kopf aufgeht. Zur gleichen Zeit in Alexandria machen die Sonnenstrahlen einen Winkel α mit der Spitze eines vertikalen Stabes, wie in Abbildung . Da die Sonnenstrahlen fast parallel zur Erde fallen, ist der Winkel, den der Bogen l (der die Entfernung zwischen Alexandria und Syene darstellt) im Mittelpunkt der Erde einschließt, ebenfalls α; daher muss das Verhältnis des Erdumfangs C zum Abstand l gleich dem Verhältnis von 360 ° zum Winkel α sein – in Symbolen C : l = 360 °: α. Eratosthenes führte die Messungen durch und erhielt einen Wert von etwa 5.000 Stadien zu 1, was einen Wert für den Umfang der Erde von etwa 250.000 Stadien ergab. Da die akzeptierte Länge der griechischen Stadien lokal variiert, können wir Eratosthenes‘ Fehlermarge nicht genau bestimmen. Wenn wir jedoch die Schätzung des antiken Historikers Plutarch der Längeneinheit von Eratosthenes zuschreiben, erhalten wir einen Wert für den Erdumfang von etwa 46250 km – bemerkenswert nahe am modernen Wert (etwa 15 % zu groß), angesichts der Schwierigkeit, l und α genau zu messen. ( Siehe Kasten: Vermessung der Erde, klassisch und arabisch.)
Aristarchus von Samos ( ca. 310-230 v. Chr.) gebührt das Verdienst, die Reichweite der Zahl auf die Sonne ausgedehnt zu haben. Mit dem Mond als Lineal und der Feststellung, dass die scheinbaren Größen von Sonne und Mond ungefähr gleich sind, berechnete er die Werte in seiner Abhandlung „Über die Größen und Entfernungen von Sonne und Mond“. Die große Schwierigkeit der Beobachtungen führte zu einer Unterschätzung der Sonnenentfernung um etwa das 20-fache – er erhielt eine Sonnenentfernung σ, die etwa dem 1.200-fachen des Erdradius r entspricht. Vielleicht führte Aristarchus‘ Untersuchung der relativen Größen von Sonne, Mond und Erde dazu, dass er das erste heliozentrische („sonnenzentrierte“) Modell des Universums vorschlug.
Aristarchus‘ Wert für die Sonnenentfernung wurde durch einen erstaunlichen Zufall bestätigt. Ptolemäus setzte die größte Entfernung des Mondes auf seiner exzentrischen Bahn mit der größten Annäherung des Merkurs auf seinem Epizykel gleich; die größte Entfernung des Merkurs mit der größten Nähe zur Venus; und die größte Entfernung der Venus mit der größten Nähe zur Sonne. So konnte er die Sonnenentfernung in Bezug auf die Mondentfernung und von dort aus den Erdradius berechnen. Seine Antwort stimmte mit der von Aristarchus überein. Die ptolemäische Vorstellung von der Ordnung und Maschinerie der Planeten, die stärkste Anwendung der griechischen Geometrie auf die physikalische Welt, bestätigte damit das Ergebnis der direkten Messung und legte die Dimensionen des Kosmos für mehr als tausend Jahre fest. Wie die alten Philosophen sagten, gibt es keine Wahrheit in der Astronomie.