Die nachklassische Zeit

Passage durch den Islam

Zwei Jahrhunderte nach ihrem Aufbruch aus der Wüste um Mekka besetzten die Anhänger Mohammeds die Länder von Persien bis Spanien und ließen sich nieder, um die Künste und Wissenschaften der Völker, die sie erobert hatten, zu beherrschen. Sie bewunderten besonders die Arbeit der griechischen Mathematiker und Mediziner und die Philosophie des Aristoteles. Ende des 9. Jahrhunderts waren sie bereits in der Lage, die Geometrie von Euklid, Archimedes und Apollonius zu ergänzen. Im 10. Jahrhundert übertrafen sie Ptolemäus. Angeregt durch das Problem, die tatsächliche Ausrichtung des Gebets (die Qiblah oder Richtung des Gebetsplatzes in Mekka) zu finden, entwickelten islamische Geometer und Astronomen die stereographische Projektion (erfunden, um die Himmelskugel auf eine zweidimensionale Karte oder ein Instrument zu projizieren) sowie die ebene und sphärische Trigonometrie. Hier wurden sowohl Elemente aus Indien als auch aus Griechenland eingearbeitet. Ihre Errungenschaften in Geometrie und geometrischer Astronomie materialisierten sich in Instrumenten zum Zeichnen von Kegelschnitten und vor allem in den schönen Astrolabien aus Messing, mit denen sie die Arbeit der Berechnung astronomischer Größen auf das Drehen einer Skala reduzierten.

Thābit ibn Qurrah (836-901) hatte genau die Attribute, die notwendig waren, um die Geometrie der Araber auf das Niveau der Griechen zu bringen. Als Mitglied einer religiösen Sekte, die Juden und Christen nahe stand, ihnen aber feindlich gesinnt war, kannte er Syrisch und Griechisch ebenso gut wie Arabisch; als Geldwechsler wusste er zu rechnen; als beides empfahl er sich den Banū Mūsā, einer Gruppe mathematischer Brüder, die von einem Dieb abstammten, der sich der Astrologie zugewandt hatte. Die Banū Mūsā betrieben in Bagdad ein vom Kalifen gesponsertes Haus der Weisheit. Dort betreuten sie die Übersetzungen der griechischen Klassiker. Thābit wurde eine Zierde des Hauses der Weisheit. Er übersetzte Archimedes und Apollonius, von denen einige Bücher nur noch in seinen Versionen bekannt sind. In einer bemerkenswerten Ergänzung zu Euklid, versuchte er tapfer zu beweisen, die parallele Postulat (später in nicht-euklidischen Geometrien diskutiert).

Zu den Stücken der griechischen geometrischen Astronomie, die sich die Araber aneigneten, gehörte das planisphärische Astrolabium, das eine der in der griechischen Antike erfundenen Methoden zur Projektion der Himmelskugel auf eine zweidimensionale Fläche enthielt. Eine der wünschenswerten mathematischen Eigenschaften dieser Methode (der stereographischen Projektion) ist, dass sie Kreise in Kreise oder Geraden umwandelt, eine Eigenschaft, die in den frühen Seiten von Apollonius‘ Konik nachgewiesen wurde. Wie Ptolemäus in seinem Planisphaerium zeigte, macht die Tatsache, dass die stereographische Projektion Kreise in Kreise oder Geraden abbildet, das Astrolabium zu einem sehr praktischen Instrument für die Zeitzählung und die Darstellung der Bewegungen von Himmelskörpern. Die ersten bekannten arabischen Astrolabien und Anleitungen für deren Bau stammen aus dem 9. Jahrhundert. Die islamische Welt verbesserte das Astrolabium als Hilfsmittel zur Bestimmung der Gebetszeiten, zur Richtungsbestimmung nach Mekka und zur astrologischen Weissagung.

Europa entdeckt die Klassiker neu

Kontakte zwischen Christen, Juden und Arabern in Katalonien brachten das Wissen um das Astrolabium schon vor dem Jahr 1000 in den Westen. Im 12. Jahrhundert wurden viele Gebrauchs- und Bauanleitungen ins Lateinische übersetzt, zusammen mit geometrischen Werken der Banū Mūsā, Thābit und anderen. Einige der Errungenschaften der Araber wurden nach einem breiten und gründlichen Studium der Euklidischen Elemente, die im 12. und 13. Jahrhundert mehrfach aus dem Arabischen und einmal aus dem Griechischen übersetzt wurden, von Geometern im Westen wiederentdeckt. Die Elemente (Venedig, 1482) war eines der ersten technischen Bücher, die jemals gedruckt wurden. Archimedes kam im 12. Jahrhundert auch in den Westen, in lateinischen Übersetzungen griechischer und arabischer Quellen. Apollonius kam nur in Stücken. Ptolemäus‘ Almagest erschien in einem lateinischen Manuskript im Jahr 1175. Erst als die Humanisten der Renaissance ihr klassisches Wissen der Mathematik zuwandten, erschienen die Griechen in gedruckten Standardausgaben in Latein und Griechisch.

Diese Texte wirkten auf ihre lateinischen Leser mit der Kraft der Offenbarung. Die Europäer entdeckten das Konzept des Beweises, die Macht der Verallgemeinerung und die übermenschliche Intelligenz der Griechen; sie beeilten sich, Techniken zu beherrschen, die es ihnen ermöglichen würden, ihre Kalender und Horoskope zu verbessern, bessere Instrumente zu bauen und die christlichen Mathematiker auf das Niveau der Ungläubigen zu heben. Die Europäer brauchten mehr als zwei Jahrhunderte, um sich mit ihrem unerwarteten Erbe auseinander zu setzen. Im fünfzehnten Jahrhundert waren sie jedoch bereit, über ihre Quellen hinauszugehen. Die innovativsten Entwicklungen fanden dort statt, wo die Kreativität am stärksten war, in der Kunst der italienischen Renaissance.

Lineare Perspektive

Die Theorie der Linearperspektive, eine ursprüngliche Idee der Florentiner Architekten-Ingenieure Filippo Brunelleschi (1377-1446) und Leon Battista Alberti (1404-1402) und ihrer Nachfolger, sollte im 17. Jahrhundert zu einer Neuordnung der Geometrie beitragen. Brunelleschis und Albertis Schema, wie es ohne Beweis in Albertis De pictura angegeben ist, nutzt die Strahlenpyramide, die nach dem, was sie von Ibn Al-Haythams (ca. 965-1040) verwestlichten Versionen der Optik gelernt hatten, vom Objekt zum Auge des Malers geht. Stellen Sie sich vor, wie Alberti es anordnete, dass der Maler eine Szene durch ein Fenster studiert, wobei er nur ein Auge benutzt und seinen Kopf nicht bewegt; er kann nicht wissen, ob er auf eine äußere Szene oder auf ein gemaltes Glas blickt, um seinem Auge die gleiche visuelle Pyramide zu präsentieren. Unter der Annahme, dass dieses verzierte Fenster die Leinwand ist, interpretierte Alberti das zukünftige Gemälde als die Projektion der Lebensszene auf eine vertikale Ebene, die die Sehpyramide schneidet. Eine Besonderheit seines Systems war der „Unendlichkeitspunkt“, an dem die parallelen Linien des Bildes zusammenzulaufen scheinen, wie auf dem Foto zu sehen.

Albertis Verfahren, das von Piero della Francesca ( ca. 1410-1492) und Albrecht Dürer (1471-1528) weiterentwickelt wurde, wurde von vielen Künstlern verwendet, die die Perspektive überzeugend darstellen wollten. Gleichzeitig versuchten die Kartographen verschiedene Projektionen der Kugel, um die Aufzeichnung der geographischen Entdeckungen unterzubringen, die Mitte des 15. Jahrhunderts mit der portugiesischen Erforschung der Westküste Afrikas begannen. Zeitgleich mit diesen Erkundungen fanden die Kartographen Ptolemäus‘ Geographie wieder, in der er die wichtigsten ihm bekannten Orte nach Breitengraden (manchmal ganz nah) und Längengraden (meist weit entfernt) aufgezeichnet und angegeben hatte, wie sie auf eine Karte projiziert werden konnten.

Die Entdeckungen, die die bekannte Erde vergrößerten, passten nicht ohne weiteres in die Projektionen des Ptolemäus. Die Kartographen übernahmen daher die stereographische Projektion, die den Astronomen gedient hatte. Viele projizierten die nördliche Hemisphäre auf den Äquator, genau wie beim Standard-Astrolabium, aber der am weitesten verbreitete Aspekt, der in den Weltkarten von Gerardus Mercators Sohn für spätere Ausgaben des Atlas seines Vaters (ab 1595) popularisiert wurde, projizierte Punkte auf der Erde auf einen Zylinder, der die Erde am Äquator tangierte. Nach dem Schneiden des Zylinders entlang einer vertikalen Linie und dem Abflachen des resultierenden Rechtecks war das Ergebnis das nun bekannte.

Die intensive Beschäftigung von Künstlern, Architekten und Kartographen mit Projektionsmethoden während der Renaissance veranlasste schließlich die Mathematiker, sich mit den Eigenschaften der Linearperspektive im Allgemeinen zu beschäftigen. Der profundeste dieser Generalisten war ein früher Architekt namens Girard Desargues (1591-1661).

Umwandlung

Französische Kreise

Desargues gehörte zu den sich kreuzenden Kreisen französischer Mathematiker des 17. Jahrhunderts, die Platons Akademie des 4. Jahrhunderts v. Chr. oder dem Haus der Weisheit in Bagdad des 9. Jahrhunderts n. Chr. würdig waren. Unter ihnen René Descartes (1596-1650) und Pierre de Fermat (1601-65), die Erfinder der analytischen Geometrie; Gilles Personne de Roberval (1602-75), ein Pionier in der Entwicklung der Infinitesimalrechnung; und Blaise Pascal (1623-1662), der zur Infinitesimalrechnung beitrug und ein Exponent der von Desargues aufgestellten Prinzipien war.

Projektive Geometrie

In Desargues‘ Arbeit lassen sich zwei Hauptrichtungen unterscheiden. Wie die Künstler der Renaissance ließ Desargues den Unendlichkeitspunkt in seinen Demonstrationen frei zu und zeigte, dass jeder Satz paralleler Linien in einer Szene (außer denen, die parallel zu den Seiten der Leinwand verlaufen) als konvergierende Strahlen zu einem bestimmten Punkt auf der „Unendlichkeitslinie“ (dem Horizont) projizieren sollte. Mit der Hinzufügung von Punkten im Unendlichen zur euklidischen Ebene, konnte Desargues alle seine Sätze über Linien aufstellen, ohne die Parallelen auszuschließen – die, wie die anderen, jetzt trafen, aber nicht vor dem „Unendlichen“. Eine umfangreichere Frage, die sich aus der künstlerischen Perspektive ergab, war die Beziehung zwischen Projektionen desselben Objekts aus verschiedenen Blickwinkeln und unterschiedlichen Positionen auf der Leinwand. Desargues stellte fest, dass weder Größe noch Form bei Projektionen im Allgemeinen erhalten bleiben, wohl aber die Kollinearität, und er lieferte ein für Künstler vielleicht nützliches Beispiel in Bildern von Dreiecken, die von verschiedenen Standpunkten aus gesehen werden. Die Aussage, die dieses Beispiel begleitet, wurde als Desargues‘ Theorem bekannt.

Desargues‘ zweite Richtung war die „Vereinfachung“ von Apollonius‘ Arbeit über Kegelschnitte. Trotz seiner Allgemeinheit des Ansatzes, Apollonius benötigt, um zu beweisen, alle seine Theoreme für jede Art von konischen separat. Desargues sah, dass er konnte beweisen, sie alle auf einmal und darüber hinaus durch die Behandlung eines Zylinders als ein Kegel mit einem Scheitelpunkt im Unendlichen, zeigen nützliche Analogien zwischen Zylindern und Kegeln. Seinem Beispiel folgend, machte Pascal seine überraschende Entdeckung, dass die Schnittpunkte der drei Paare gegenüberliegender Seiten eines eingeschriebenen Sechsecks in einem Kegel auf einer Geraden liegen. In 1685, in seinem Sectiones Conicæ, Philippe de la Hire (1640-1718), ein Pariser Maler verwandelte Mathematiker, bewiesen mehrere hundert Sätze in der Conics von Apollonius durch die effiziente Methoden von Desargues.

Kartesische Geometrie

Als Teil der großen Aufklärung, die Descartes zu der bescheidenen Aufgabe inspirierte, sowohl die Philosophie als auch die Mathematik zu reformieren, entwickelte er 1619 einen „Zirkel“ aus Stäben, die in gerillten Rahmen gleiten, um den Würfel zu duplizieren und die Winkel zu trisezieren. Descartes betrachtete diese Instrumente und die Konstruktionen, die sie machten, als (um einen Brief von 1619 zu zitieren) „nicht weniger sicher und geometrisch als die gewöhnlichen, mit denen Kreise gezogen werden“. Durch den Einsatz geeigneter Instrumente würde er die antike Mathematik zur Perfektion bringen: „Es wird in der Geometrie fast nichts mehr zu entdecken sein“.

Was Descartes vorschwebte, war die Verwendung von gleitenden Schenkelzirkeln zur Erzeugung von Kurven. Um diese Kurven zu klassifizieren und zu studieren, ließ sich Descartes von den Beziehungen inspirieren, die Apollonius zur Klassifizierung von Kegelschnitten verwendet hatte, die zwar die Quadrate, aber keine höheren Potenzen der Variablen enthalten. Um die komplizierteren Kurven zu beschreiben, die von seinen Instrumenten erzeugt oder als Orte von Punkten definiert wurden, die die entsprechenden Kriterien erfüllten, musste Descartes Würfel und höhere Potenzen von Variablen einbeziehen. Er überwand damit den seiner Meinung nach irreführenden Charakter der von den Alten verwendeten Begriffe Quadrat, Rechteck und Würfel und kam dazu, geometrische Kurven als Darstellungen algebraisch definierter Beziehungen zu identifizieren. Durch die Reduktion von Beziehungen, die geometrisch schwer zu erklären und zu beweisen waren, auf algebraische Beziehungen zwischen den (meist rechtwinkligen) Koordinaten von Punkten auf Kurven, brachte Descartes die Vereinigung von Algebra und Geometrie zustande, die die Geburtsstunde der Infinitesimalrechnung war.

Geometrische Berechnung

Die bekannte Verwendung der Unendlichkeit, die einem Großteil der Theorie der Perspektive und der projektiven Geometrie zugrunde liegt, hob auch Archimedes‘ mühsame Methode der Erschöpfung auf. Es überrascht nicht, dass ein praktischer Mann, der flämische Ingenieur Simon Stevin (1548-1620), der neben vielen anderen angewandten mathematischen Themen auch über Perspektive und Kartographie schrieb, den ersten wirksamen Anstoß zur Neudefinition des Gegenstands der archimedischen Analyse gab. Anstatt den Kreis auf ein einbeschriebenes Polygon und ein umschriebenes Polygon zu beschränken, betrachtete die neue Ansicht den Kreis als identisch mit Polygonen und Polygone untereinander, wenn die Anzahl ihrer Seiten unendlich groß wird.

Dieser wiederbelebte Ansatz der Erschöpfung erhielt eine vorläufige Systematisierung in der Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; „Eine Methode zur Bestimmung einer neuen Geometrie der kontinuierlichen Indivisiblen“) des italienischen MathematikersBonaventura (Francesco) Cavalieri (1598-1647). Cavalieri, vielleicht beeinflusst von Keplers Methode zur Bestimmung von Volumina in Nova Steriometria Doliorum (1615; „Neue Stereometrie der Weinfässer“), betrachtete Linien als aus einer unendlichen Anzahl von dimensionslosen Punkten bestehend, Flächen als aus Linien von infinitesimaler Dicke bestehend und Volumina als aus Ebenen von infinitesimaler Tiefe bestehend, um algebraische Wege zur Summierung der Elemente zu erhalten, in die er seine Figuren einteilte. Die Cavalieri-Methode lässt sich wie folgt formulieren: Wenn zwei Figuren (Körper) gleicher Höhe von parallelen Linien (Ebenen) so geschnitten werden, dass die Längenpaare (Flächen) übereinstimmen, dann haben beide Figuren (Körper) die gleiche Fläche (Volumen). Obwohl sie nicht den heutigen strengen Standards entsprach und von den „klassischen“ Zeitgenossen kritisiert wurde (die nicht wussten, dass Archimedes selbst ähnliche Techniken erforscht hatte), wurde Cavalieris Methode der Indivisiblen zu einem Standardwerkzeug für die Lösung von Volumen bis zur Einführung der Integralrechnung im späten 17.

Eine zweite geometrische Inspiration für die Infinitesimalrechnung ergab sich aus den Bemühungen, Tangenten an Kurven zu definieren, die komplizierter sind als Kegelschnitte. Fermats Methode, stellvertretend für mehrere, hatte zum Beispiel das Problem, das Rechteck zu finden, das die Fläche für einen gegebenen Umfang maximiert. Notieren wir a und b die gesuchten Seiten für das Rechteck. Vergrößern Sie eine Seite und verkleinern Sie die andere um einen kleinen Betrag ε; die resultierende Fläche ist dann gegeben durch ( a + ε) ( b – ε). Fermat beobachtete, was Kepler schon früher bei der Suche nach den zweckmäßigsten Formen für Weinfässer wahrgenommen hatte: dass sich eine Größe in der Nähe ihres Maximums (oder Minimums) wenig ändert, weil sich die Variablen, von denen sie abhängt, geringfügig ändern. Nach diesem Prinzip hat Fermat die Flächen a b und ( a + ε) ( b- ε) gleichgesetzt, um die stationären Werte zu erhalten: a b = a b – ε a + ε b – ε 2 . Indem man den gemeinsamen Term a b aufhebt, durch ε dividiert und dann ε auf Null setzt, hat Fermat seine bekannte Antwort, a = b. Die Figur mit der größten Fläche ist ein Quadrat. Um die Tangente an eine Kurve mit dieser Methode zu erhalten, begann Fermat mit einer Sekante, die durch zwei Punkte in kurzem Abstand verläuft, und ließ den Abstand verschwinden.

Das Weltsystem

Jahrhundert war die Anwendung der Kegelschnitte auf die Astronomie eine Motivation für Apollonius‘ umfangreiche Studien. Kepler ersetzte nicht nur die vielen Kreise des alten Planetensystems durch ein paar Ellipsen, sondern er ersetzte auch die relativ einfache ptolemäische Regel, dass alle Bewegungen aus Rotationen mit konstanter Geschwindigkeit bestehen müssen, durch eine komplizierte Bewegungsregel (sein „zweites Gesetz“): Keplers zweites Gesetz besagt, dass sich ein Planet in seiner Ellipse so bewegt, dass die Linie zwischen ihm und der im Brennpunkt stehenden Sonne in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Seine Astronomie machte damit das sonst einfach schwierige Problem der Quadratur von Kegeln und die damit verbundene Theorie der Unteilbarkeiten dringlich und praktisch.

Mit den Methoden von Apollonius und einigen Infinitesimalen zeigte ein inspirierter Geometer, dass die Gesetze, die sowohl die Fläche als auch die Ellipse betreffen, aus den Annahmen abgeleitet werden können, dass Körper, die frei von allen Kräften sind, auf geraden Linien ruhen oder sich gleichmäßig bewegen, und dass jeder Planet mit einer Beschleunigung, die nur von der Entfernung zwischen ihren Zentren abhängt, ständig auf die Sonne fällt. Der inspirierte Geometer war Isaac Newton (1642 [Old Style] -1727), der die Planetendynamik zu einer reinen Angelegenheit der Geometrie machte, indem er die Planetenbahn durch eine Folge von infinitesimalen Sehnen, die Planetenbeschleunigung durch eine Reihe von zentripetalen Stößen und, in Übereinstimmung mit Keplers zweitem Gesetz, die Zeit durch die Fläche ersetzte.

Neben dem Problem der Planetenbewegung führten optische Fragen die Naturphilosophen und Mathematiker des 17. Jahrhunderts zum Studium der Kegelschnitte. Wie Archimedes bei seiner Zerstörung einer römischen Flotte durch reflektiertes Sonnenlicht gezeigt (oder geleuchtet) haben soll, bringt ein Parabolspiegel alle Strahlen parallel zu seiner Achse in einen gemeinsamen Brennpunkt. Archimedes‘ Geschichte veranlasste viele spätere Geometer, einschließlich Newton, ihm nachzueifern. Schließlich schufen sie Instrumente, die stark genug waren, um Eisen zu schmelzen.

Die Figuration von Fernrohrlinsen verstärkte auch das Interesse an Koniken nach Galileo Galileis revolutionären Verbesserungen des astronomischen Fernrohrs im Jahr 1609. Descartes betonte den Wert von Linsen mit hyperbolischen Flächen, die parallele Strahlenbündel auf einen Punkt fokussieren (sphärische Linsen mit großen Öffnungen ergeben ein unscharfes Bild), und er erfand eine Maschine, um sie zu schneiden – was sich jedoch mehr als genial denn als nützlich erwies.

Ein letztes Beispiel für die ersten modernen Anwendungen der Geometrie in der physikalischen Welt ist das alte Problem der Größe der Erde. (Siehe Seitenleiste: Vermessung der Erde, modernisiert.) Auf der Annahme, dass die Erde aus einem rotierenden Flüssigkeitstropfen gekühlt, Newton berechnet, dass es eine abgeflachte Sphäroid (erhalten durch Drehen einer Ellipse um seine Nebenachse), nicht eine Kugel, und er gab den Überschuss der äquatorialen über seine polaren Durchmesser. Im 18. Jahrhundert versuchten viele Geodäten, die Exzentrizität der Erdellipse zu finden. Zunächst schien es, dass alle Messungen mit einer Newtonschen Erde kompatibel sein könnten. Bis zum Ende des Jahrhunderts hatten die Geodäten jedoch durch die Geometrie entdeckt, dass die Erde in der Tat keine regelmäßige geometrische Form hat.

Entspannung und Strenge

Die Dominanz der Analysis (Algebra und Kalkül) im 18. Jahrhundert führte zu einer Reaktion zugunsten der Geometrie im frühen 19. Jahrhundert. Neue grundlegende Zweige des Faches führten zur Vertiefung, Verallgemeinerung und Verletzung der Prinzipien der antiken Geometrie. Die Bewirtschafter dieser neuen Felder, wie Jean-Victor Poncelet (1788-1867) und sein autodidaktischer Schüler Jakob Steiner (1796-1863), bestanden vehement auf den Ansprüchen der Geometrie und nicht der Analysis. Die Wiederbelebung der reinen Geometrie im frühen neunzehnten Jahrhundert produziert die Entdeckung, dass Euklid hatte seine Bemühungen um nur eine der vielen vollständigen Geometrien, die anderen von denen können erstellt werden, indem Sie Euklids fünfte Postulat mit einem anderen auf Parallelen.

Projektion wieder

Poncelet, der Offizier im französischen Ingenieurkorps war, lernte Teile von Desargues‘ Arbeit von seinem Lehrer Gaspard Monge (1746-1818), der seine eigene Projektionsmethode für Bau- und Maschinenzeichnungen entwickelte. Poncelet verließ sich auf diese Informationen, um sich am Leben zu erhalten. Während der Invasion Napoleons in Russland 1812 inhaftiert, verbrachte er seine Zeit damit, in seinem Kopf zu wiederholen, was er von Monge gelernt hatte. Das Ergebnis war die projektive Geometrie.

Poncelet verwendete drei grundlegende Werkzeuge. Eine davon hat er von Desargues übernommen: den Beweis schwieriger Theoreme auf einer komplizierten Figur durch Ausarbeitung einfacherer gleichwertiger Theoreme auf einer elementaren Figur, die durch Projektion mit der ursprünglichen Figur austauschbar ist. Das zweite Werkzeug, die Kontinuität, erlaubt es dem Geometer, bestimmte Dinge als wahr für eine Figur zu behaupten, die für eine andere, ebenso allgemeine Figur wahr sind, vorausgesetzt, dass die Figuren durch einen Prozess der kontinuierlichen Veränderung voneinander abgeleitet werden können. Poncelet und sein Verteidiger Michel Chasles (1793-1880) dehnten das Prinzip der Kontinuität in den Bereich der Imagination aus, indem sie Konstruktionen als die gemeinsame Übereinstimmung in zwei Kreisen betrachteten, die sich nicht überschneiden.

Poncelets drittes Werkzeug war das „Dualitätsprinzip“, das verschiedene Konzepte wie Punkte mit Linien oder Linien mit Ebenen vertauscht, um aus alten Theoremen neue zu generieren. Das Theorem von Desargues erlaubt ihren Austausch. So, wie Steiner zeigte, Pascal’s Theorem, dass die drei Schnittpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines Sechsecks eingeschrieben in eine konische liegen auf einer Linie; so, die Linien verbinden gegenüberliegenden Scheitelpunkte eines Sechsecks umschrieben eine konische treffen sich in einem Punkt.
Poncelets Anhänger erkannten, dass sie sich selbst blamierten und die wahre Fundamentalität der projektiven Geometrie verschleierten, indem sie den Begriff der Länge und der Kongruenz in ihren Formulierungen beibehielten, da Projektionen diese im Allgemeinen nicht erhalten. Ebenso sollte der Parallelismus verschwinden. Mitte des 19. Jahrhunderts gab es Bestrebungen, unter anderem von Karl George Christian von Staudt (1798-1867), die projektive Geometrie von den letzten überflüssigen Relikten ihrer euklidischen Vergangenheit zu befreien.

Nicht-euklidische Geometrien

Die Aufklärung war nicht so sehr mit der Analyse beschäftigt, dass sie das Problem des fünften Postulats von Euklid völlig ignorierte. Im Jahr 1733 brachte Girolamo Saccheri (1667-1733), ein Jesuitenprofessor für Mathematik an der Universität von Pavia, Italien, die uralte Diskussion erheblich voran, indem er die Alternativen mit großer Klarheit und Ausführlichkeit darlegte, bevor er erklärte, dass er „Euklid von allen Mängeln befreit“ habe ( Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, 1733). Euklids fünftes Postulat ist erfüllt: „Wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, werden sich die Geraden, wenn sie unendlich erzeugt werden, auf der Seite treffen, auf der die Winkel kleiner als zwei sind.“ Saccheri nahm das Viereck von Omar Khayyam (1048-1131), das mit zwei parallelen Linien AB und D C begann, bildete die Seiten, indem er die Linien A D und B C senkrecht zu A B zeichnete, und betrachtete dann drei Annahmen für die Innenwinkel in C und D: rechts, stumpf oder spitz zu sein. Die erste Möglichkeit ergibt die euklidische Geometrie. Saccheri widmete sich dem Nachweis, dass sowohl die stumpfe als auch die spitze Alternative zu Widersprüchen führen, womit die Notwendigkeit eines expliziten Parallelpostulats entfällt.

Auf dem Weg zu dieser Fehldemonstration stellte Saccheri mehrere Theoreme der nichteuklidischen Geometrie auf – zum Beispiel, dass je nachdem, ob die gerade, stumpfe oder spitze Hypothese wahr ist, die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich, größer oder gleich ist und innerhalb von 180° liegt. Er zerstörte dann die stumpfe Hypothese durch ein Argument, das davon abhing, dass die Linien in der Länge unbegrenzt zunehmen können. Wird dies verworfen, so ergibt die Stumpfwinkelhypothese ein System, das der sphärischen Standardgeometrie entspricht, also der Geometrie von Figuren, die auf der Oberfläche einer Kugel gezeichnet werden.
Wie für den spitzen Winkel, Saccheri konnte nur Niederlage es durch Berufung auf eine willkürliche Hypothese über das Verhalten von Linien im Unendlichen. Einer seiner Schüler, der schweizerisch-deutsche Universalgelehrte Johann Heinrich Lambert (1728-1777), beobachtete, dass aufgrund der spitzen Hypothese die Fläche eines Dreiecks das Negativ derjenigen eines sphärischen Dreiecks ist. Da letztere proportional zum Quadrat des Radius r ist, erscheint erstere für Lambert als die Fläche einer imaginären Kugel mit dem Radius i r , wobei i =Racinusquadrat von√ -1.
Obwohl sowohl Saccheri als auch Lambert versuchten, die Recht-Winkel-Hypothese zu etablieren, schienen ihre Argumente eher auf die Unverfehlbarkeit der Alternativen hinzuweisen. Mehrere Mathematiker an der Universität Göttingen, darunter der große Carl Friedrich Gauß (1777-1855), haben sich in der Folge mit dem Problem beschäftigt. Gauß war wahrscheinlich der erste, der erkannte, dass eine kohärente Geometrie unabhängig von Euklids fünftem Postulat konstruiert werden konnte, und er leitete viele relevante Sätze ab, die er jedoch nur in seiner Lehre und Korrespondenz verkündete. Die ersten veröffentlichten nicht-euklidischen geometrischen Systeme waren die unabhängige Arbeit von zwei jungen Männern aus dem Osten, die durch ihre Kühnheit nichts zu verlieren hatten. Beide können als entfernte Schüler von Gauß angesehen werden: der Russe Nikolaj Iwanowitsch Lobatschewski (1792-1856), der seine Mathematik von einem engen Freund von Gauß an der Universität Kasan lernte, wo Lobatschewski später Professor wurde, und János Bolyai (1802-1860), ein Offizier in der österreichisch-ungarischen Armee, dessen Vater ebenfalls ein Freund von Gauß war. Beide Lobachevsky und Bolyai entwickelt hatte ihre ursprüngliche Geometrien von 1826.

Lobachevsky und Bolyai begründeten die Hypothese des spitzen Winkels in der Art von Saccheri und Lambert und gewannen ihre Ergebnisse über die Flächen von Dreiecken zurück. Sie fortgeschritten über Saccheri und Lambert durch die Ableitung einer imaginären Trigonometrie zu gehen mit ihren imaginären Geometrie. Genauso wie Desargues‘ projektive Geometrie für viele Jahre vernachlässigt wurde, machte die Arbeit von Bolyai und Lobachevsky für eine Generation oder mehr wenig Eindruck auf Mathematiker. Es war vor allem die posthume Veröffentlichung im Jahre 1855 von Gauß‘ Ideen zur nichteuklidischen Geometrie, die den neuen Ansätzen das Gütesiegel verlieh, um die Aufmerksamkeit späterer Mathematiker zu erregen.

Eine großartige Synthese

Ein weiterer tiefgreifender Impuls, den Gauß der Geometrie gab, betraf die allgemeine Beschreibung von Oberflächen. Typischerweise, mit der bemerkenswerten Ausnahme der Geometrie der Kugel, hatten die Mathematiker Oberflächen als Strukturen im euklidischen Raum in drei Dimensionen behandelt. Da diese Flächen jedoch nur zwei Dimensionen einnehmen, werden nur zwei Variablen benötigt, um sie zu beschreiben. Dies führte zu der Idee, dass zweidimensionale Oberflächen als „Räume“ mit eigenen Geometrien betrachtet werden könnten, nicht nur als euklidische Strukturen im gewöhnlichen Raum. Zum Beispiel ist der kürzeste Abstand oder Weg zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Kugel der kleine Bogen des Großkreises, der sie verbindet, während, als Punkte im dreidimensionalen Raum betrachtet, der kürzeste Abstand zwischen ihnen eine gewöhnliche gerade Linie ist.

Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Fläche, der vollständig innerhalb dieser Fläche liegt, wird als Geodäte bezeichnet, was den Ursprung des Begriffs in der Geodäsie widerspiegelt, an der Gauß aktiv interessiert war. Seine Initiative zur Untersuchung von Flächen als Räume und Geodäten als „Linien“ wurde von seinem Schüler und kurzzeitigen Nachfolger in Göttingen, Bernhard Riemann (1826-66), fortgesetzt. Riemann begann mit einem abstrakten Raum von n Dimensionen. Dies war in den 1850er Jahren, als Mathematiker und Mathematiker begannen, den n-dimensionalen euklidischen Raum zu verwenden, um die Bewegungen von Systemen von Teilchen in der neuen kinetischen Theorie der Gase zu beschreiben. Riemann arbeitete in einem quasi-euklidischen Raum – „quasi-„, weil er die Infinitesimalrechnung benutzte, um den Satz des Pythagoras zu verallgemeinern und so genügend Flexibilität zu schaffen, um Geodäten auf jeder beliebigen Oberfläche zu erzeugen.

Reduziert man diese sehr allgemeine Differentialgeometrie auf zweidimensionale Flächen mit konstanter Krümmung, so ergeben sich daraus hervorragende Modelle für nicht-euklidische Geometrien. Riemann selbst wies darauf hin, dass die verpönte Stumpfwinkelhypothese die richtige Geometrie für die Kugeloberfläche ergibt, wenn man die Geodäten einer Kugel einfach als „gerade Linien“ bezeichnet. In ähnlicher Weise zeigt Eugenio Beltrami (1835-1900), der seine Lehrtätigkeit an Saccheris altem Posten in Pavia beendete, dass die in der Ebene durch die Hypothese des spitzen Winkels definierte Geometrie perfekt auf eine Rotationsfläche mit konstanter negativer Krümmung passt, die jetzt Pseudosphäre genannt wird – wiederum unter der Voraussetzung, dass ihre Geodäten als die Geraden der Geometrie akzeptiert werden.

Da die Annahme des stumpfen Winkels die auf die Oberfläche einer Kugel angewandte euklidische Geometrie korrekt charakterisiert, muss die darauf basierende nicht-euklidische Geometrie genau so konsistent sein wie die euklidische Geometrie. Der von Lobachevsky und Bolyai behandelte Fall des spitzen Winkels erforderte ein anspruchsvolleres Werkzeug. Beltrami fand sie in einer Projektion der Punkte eines nichteuklidischen Raumes auf eine Scheibe in der euklidischen Ebene, wobei jede Geodäte des nichteuklidischen Raumes einem Strang der Scheibe entspricht. Die auf der spitzen Winkelhypothese aufgebaute Geometrie hat die gleiche Konsistenz wie die euklidische Geometrie.

Die Schlüsselrolle der euklidischen Geometrie beim Nachweis der Konsistenz nicht-euklidischer Geometrien hat die Elemente zunehmend in Frage gestellt. Die alten Unzulänglichkeiten – insbesondere Appelle an die Intuition und Diagramme für die Bedeutung von Begriffen wie „innerhalb“ und „zwischen“ und die Verwendung von zweifelhaften Verfahren wie Superposition, um Kongruenz zu beweisen – wurden unerträglich für Mathematiker, die daran arbeiteten, die Grundlagen der Arithmetik und des Kalküls zu klären. sowie die Zusammenhänge der neuen Geometrien. Der deutsche Mathematiker Moritz Pasch (1843-1930) stellte in seinen „Vorlesungen über neuere Geometrie“ (1882) fest, was fehlte: unbestimmte Begriffe, Axiome über diese Begriffe und eine strengere Logik, die auf diesen Axiomen aufbaut. Die Wahl der unbestimmten Begriffe und Axiome ist frei, außerhalb des Zwanges der Konsistenz. Mathematiker, die dem Weg von Pasch folgten, führten verschiedene Elemente und Axiome ein und entwickelten ihre Geometrien mit mehr oder weniger Eleganz und Schwierigkeit. Der erfolgreichste dieser Systematiker war der Göttinger Professor David Hilbert (1862-1943), dessen Foundations of Geometry (1899) die Bemühungen um eine Axiomatisierung der gesamten Mathematik stark beeinflusste.

Die reale Welt

Euklids Elemente hatten die Vorzüglichkeit beansprucht, ein wahres Konto des Raumes zu sein. Innerhalb dieser Interpretation war Euklids fünftes Postulat eine empirische Entdeckung; nicht-euklidische Geometrien galten nicht in der realen Welt. Bolyai konnte sich offenbar nicht von dem Glauben befreien, dass die euklidische Geometrie die Wirklichkeit repräsentiert. Lobachevsky beobachtete, dass, wenn es ein Stern so weit weg, dass seine Parallaxe war nicht beobachtbar von der Erdumlaufbahn, seine Geometrie wäre ununterscheidbar von Euklid’s zu dem Punkt, wo die Parallaxe verschwunden. Nach seiner Berechnung, basierend auf den damals gerade entdeckten Sternparallaxen, konnte seine Geometrie nur in gigantischen Dreiecken, die den interstellaren Raum abdecken, physikalische Bedeutung haben.

In der Tat gelten nicht-euklidische Geometrien für den Kosmos lokaler als Lobachevsky sich vorstellte. Im Jahr 1916 veröffentlichte Albert Einstein (1879-1955) „Die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie“, die Newtons Beschreibung der Gravitation als eine Kraft, die entfernte Massen durch den euklidischen Raum zusammenzieht, durch ein Prinzip der geringsten Anstrengung oder des kürzesten (zeitlichen) Weges für die Bewegung entlang der Geodäten des gekrümmten Raums ersetzte. Einstein erklärte nicht nur, wie die Gravitationskörper dieser Fläche ihre Eigenschaften verleihen – d.h. dass die Masse bestimmt, wie sich die differentiellen Abstände oder Krümmungen in der Riemannschen Geometrie von denen im euklidischen Raum unterscheiden -, sondern sagte auch erfolgreich die Ablenkung von Licht, das keine Masse hat, in der Nähe eines Sterns oder eines anderen massiven Körpers voraus. Es war ein extravagantes Stück Geometrie – der Ersatz der Gravitationskraft durch die Krümmung einer Fläche. Aber das war noch nicht alles. In der Relativitätstheorie wird die Zeit als eine Dimension mit den drei Dimensionen des Raumes betrachtet. Auf der so entstandenen geschlossenen vierdimensionalen Welt zeigt sich die Geschichte des Universums als beschreibbar durch die Bewegung in einer riesigen Menge von Geodäten in einem nicht-euklidischen Universum.