Geometrie, der Zweig der Mathematik, der sich mit der Form einzelner Objekte, den räumlichen Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten und den Eigenschaften des umgebenden Raums beschäftigt. Sie ist einer der ältesten Zweige der Mathematik und entstand als Antwort auf praktische Probleme, wie sie z. B. bei der Vermessung auftraten. Ihr Name leitet sich von den griechischen Wörtern ab, die „Vermessung der Erde“ bedeuten. Schließlich erkannte man, dass sich die Geometrie nicht auf das Studium von ebenen Flächen (Ebenengeometrie) und starren dreidimensionalen Objekten (Festkörpergeometrie) beschränken sollte, sondern dass auch die abstraktesten Gedanken und Bilder in geometrischen Begriffen dargestellt und entwickelt werden konnten.

Dieser Artikel beginnt mit einem kurzen Leitfaden zu den wichtigsten Zweigen der Geometrie, und geht dann zu einer gründlichen historischen Behandlung. Für weitere Informationen zu bestimmten Zweigen der Geometrie siehe Euklidische Geometrie, Analytische Geometrie, Projektive Geometrie, Differentialgeometrie, Nicht-Euklidische Geometrien und Topologie.

Hauptzweige der Geometrie

Euklidische Geometrie
In vielen alten Kulturen entwickelte sich eine Form der Geometrie, die sich für die Beziehungen zwischen Längen, Flächen und Volumina von physikalischen Objekten eignet. Diese Geometrie wurde um 300 v. Chr. in Euklids Elementen auf der Grundlage von 10 Axiomen oder Postulaten kodifiziert, aus denen mehrere hundert Theoreme durch deduktive Logik bewiesen wurden. Die Elemente verkörperten für viele Jahrhunderte die axiomatisch-deduktive Methode.

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie wurde von dem französischen Mathematiker René Descartes (1596-1650) initiiert, der rechtwinklige Koordinaten einführte, um Punkte zu lokalisieren und um Linien und Kurven mit algebraischen Gleichungen darstellen zu können. Die algebraische Geometrie ist eine moderne Erweiterung des Themas auf mehrdimensionale und nicht-euklidische Räume.

Projektive Geometrie

Die projektive Geometrie geht auf den französischen Mathematiker Girard Desargues (1591-1661) zurück und befasst sich mit den Eigenschaften geometrischer Figuren, die durch die Projektion ihres Bildes oder „Schattens“ auf eine andere Fläche nicht verändert werden.

Differentialgeometrie

Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1855) begründete im Zusammenhang mit praktischen Problemen der Vermessung und Geodäsie das Gebiet der Differentialgeometrie. Mit Hilfe der Differentialrechnung charakterisierte er die intrinsischen Eigenschaften von Kurven und Flächen. Zum Beispiel zeigte er, dass die intrinsische Krümmung eines Zylinders die gleiche ist wie die einer Ebene, wie man sehen kann, indem man einen Zylinder entlang seiner Achse schneidet und ihn abflacht, aber nicht die gleiche wie die einer Kugel, die nicht ohne Verzerrung abgeflacht werden kann.

Nicht-euklidische Geometrien

Ab dem 19. Jahrhundert ersetzten verschiedene Mathematiker Alternativen zu Euklids Parallelpostulat, das in seiner modernen Form lautet: „Gegeben eine Linie und einen Punkt, der nicht auf der Linie liegt, ist es möglich, genau eine Linie durch den gegebenen Punkt parallel zur Linie zu ziehen.“ Sie hofften zu zeigen, dass die Alternativen logisch unmöglich waren. Stattdessen entdeckten sie, dass es konsistente nicht-euklidische Geometrien gab.

Topologie

Die Topologie, der jüngste und anspruchsvollste Zweig der Geometrie, befasst sich mit den Eigenschaften geometrischer Objekte, die unter kontinuierlicher Verformung – Schrumpfen, Dehnen und Falten, aber nicht Reißen – unverändert bleiben. Die Weiterentwicklung der Topologie geht auf das Jahr 1911 zurück, als der niederländische Mathematiker LEJ Brouwer (1881-1966) allgemein anwendbare Methoden für das Fach einführte.