Kugel und Ball

Definitionen
Die Kugel mit dem Mittelpunkt O und dem Radius R ist die Menge der Punkte M im Raum, so dass OM = R ist: der Abstand von M zu O ist gleich R.
Die Kugel des Mittelpunkts Die Kugel O und des Radius R ist die Menge der Punkte M im Raum, so dass OM ≤ R: der Abstand von M zu O kleiner oder gleich R ist.
Durchmesser einer Kugel: jede gerade Linie, die durch ihren Mittelpunkt verläuft. Eine solche Linie schneidet die Durchmesserkugel in zwei Punkten A und B.
Schnittpunkt einer Kugel und einer Ebene
Der Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Die Schnittebene steht bei H senkrecht auf dem Durchmesser [ ] AB der Kugel und wir haben : OH = h.
Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist H. Sei M ein Punkt dieses Kreises und r sein Radius, dann ist HM = r.
Berechnung des Radius des Schnittkreises
Die Linie ( ) OH steht senkrecht auf der Ebene, die den Schnittkreis enthält. Daher ist das Dreieck OHM rechtwinklig in H. Der Punkt M gehört zur Kugel, also OM = R.
Der Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck OHM ergibt :
OM2= OH2 + HM2
Mit OM = R, OH = h und HM = r ergibt sich
R2= h2+ r2 also :
r2= R2- h2
Es ist notwendig zu wissen, wie man diese Berechnung durchführt.
a. Wenn 0 < h < R dann r < R haben wir einen Kreis mit Mittelpunkt H und Radius r < R.

b. wenn h = 0 dann r = R : H und O sind verschmolzen wir haben einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius R. Er wird Großkreis genannt Großkreis der Kugel : Schnittpunkt einer Kugel mit einer Diametralebene.
c. wenn h = R dann r = 0 dann sind H und A (oder B) verschmolzen wir haben einen Punkt: A (oder B). Der Schnittpunkt der Kugel mit der Ebene wird auf einen Punkt reduziert.
d. wenn h > R, dann schneidet die Ebene P die Kugel nicht. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt zwischen der Kugel und der Ebene.
Fläche und Volumen
Fläche einer Kugel mit Radius R: A = 4πR2
Volumen einer Kugel mit Radius R: V = (4/3)πR3
Die Erde
Die Erde wird mit einer Kugel mit einem Radius von ca. 6370 km gleichgesetzt. In Berechnungen wird oft auf 6400 aufgerundet
km.
Sein Umfang am Äquator beträgt daher : 2π×6370 ≃ 40000 km.
Erdspezifisches Vokabular:
Meridian: ein Halbkreis auf der Oberfläche der Erde, der von einem Pol zum anderen verläuft.
Meridiane werden auf beiden Seiten eines Ursprungsmeridians markiert: dem Meridian von Greenwich, der durch die Vororte von London verläuft.
parallel: Kreis, der die Erde parallel zum Äquator umkreist Äquator.
Lokalisieren eines Punktes auf der Erde
Ein Punkt wird durch seine geografische Länge (Longitude) und seine geografische Breite (Latitude), ausgedrückt in Grad, identifiziert.
Der Längengrad des Punktes M ist der Winkel und der Breitengrad des Punktes M ist der Winkel .
Für den Längengrad geben wir Ost oder West an: der Ursprung ist der Meridian von Greenwich.
Für den Breitengrad geben wir Nord oder Süd an: der Ursprung ist der Äquator.

Alle Punkte mit demselben Längengrad liegen auf demselben Meridian.
Alle Punkte desselben Breitengrades liegen auf demselben Breitengrad.

Schnitte von Festkörpern

Rechteckiges Parallelepiped
Der Schnitt eines rechtwinkligen Parallelepipeds durch eine Ebene parallel zu einer seiner Flächen ist ein Rechteck, das diesem parallel zu einer seiner Flächen entspricht. (Bild1)
Der Schnitt eines rechtwinkligen Parallelepipeds durch eine Ebene parallel zu einer seiner Kanten ist ein Rechteck, dessen zwei zu einer seiner Kanten parallele Seiten die gleiche Länge wie diese Kante haben. (Bild2)
Zylinder der Umdrehung
Der Schnitt eines Zylinders durch eine zu seiner Basis parallele Ebene ist ein Kreis mit demselben Radius wie die Basis, dessen Mittelpunkt zu seiner Achse gehört. (Bild1)
Der Schnitt eines Zylinders durch eine Ebene parallel zu seiner Achse ist ein Rechteck, dessen zwei Seiten die gleiche Länge wie seine Höhe haben. (Bild2)
Wenn die Ebene die Achse des Zylinders enthält, dann hat das Rechteck für die Länge die Höhe des Zylinders und für die Breite den Durchmesser der Basis.
Pyramide
Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene parallel zu ihrer Basis ist ein Polygon mit der gleichen Form wie die Basis. (Bild1)
Seine Seiten sind parallel zu denen der Basis.
Kegel der Umdrehung
Der Schnitt eines Kegels durch eine Ebene parallel zu seiner Grundfläche ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt zur Achse des Kegels gehört. (Bild2)
Untersetzungsverhältnis
Der Schnitt einer Pyramide oder eines Rotationskegels durch eine zur Basis parallele Ebene ist eine Reduktion des Polygons oder des Grundkreises.
Das Verhältnis ist das Untersetzungsverhältnis Untersetzungsverhältnis Untersetzungsverhältnis .
Flächen und Volumina
Parallelepiped und Würfel
Seitenfläche: Summe der Flächen der 4 Flächen, die im Fall des Quaders Rechtecke und im Fall des Würfels Quadrate sind.
Parallelepiped der Abmessungen L×l×h : A = 2Lh + 2lh = 2h(L+ l)
Würfel der Dimension a : A = 4a2
Lautstärke:
des Parallelepipeds der Dimensionen L×l×h haben wir: V = L×l×h
des Würfels der Kante a haben wir : V = aX3
Zylinder
Seitliche Fläche: A = 2π Rh
Volumen : V = πR2h

Pyramide
Seitenfläche: Summe der Flächen der gleichschenkligen Dreiecke, die die Pyramide bilden.
Grundfläche: abhängig von der Form der Grundfläche: Dreieck, Quadrat, Rechteck, n-seitiges Polygon: B
Volumen : V =(1/3)Bh
Kegel
Seitliche Fläche : A = π Ra (wobei a die Apotheke ist, a2= h2+ R2)
Grundfläche: B = πR2
Volumen: V = (1/3)πR2h
Das Volumen der Pyramide und des Kegels werden auf die gleiche Weise ausgedrückt, wenn wir B als die Fläche der Basis bezeichnen: V =(1/3)Bh
Sphäre
Fläche: A = 4πR2
Volumen: V =(4/3)πR3